均衡平移不变距离

　　设E是线性空间，又是度量空间，ρ是E上的距离，且E按ρ导出的拓扑成为拓扑线性空间，如果对一切x,y∈E，ρ(x-y,0)=ρ(x,y)，则称ρ是平移不变距离。如果对一切数λ(|λ|≤1)，有ρ(λx,0)≤ρ(x,0)，就称ρ是均衡的。

　　简介度量线性空间

　　度量线性空间是一类定义了距离的线性空间。设E是线性空间，又是度量空间，ρ是E上的距离，且E按ρ导出的拓扑成为拓扑线性空间，则称E为度量线性空间、线性度量空间或线性距离空间。

　　定义

　　如果对一切x,y∈E，ρ(x-y,0)=ρ(x,y)，则称ρ是平移不变距离。如果对一切数λ(|λ|≤1)，有ρ(λx,0)≤ρ(x,0)，就称ρ是均衡的。1

　　t推论

　　设ρ是E上均衡平移不变距离，则p(x)=ρ(x,0)是E上的准范数。

　　完备的度量线性空间必可改赋一个均衡平移不变距离，且按这个距离是完备的，从而是弗雷歇空间。

　　距离

　　设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有

　　（I）（正定性）d(x,y)≥0，且d(x,y)=0当且仅当x=y；

　　（Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；

　　（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)，则称d为集合X的一个度量（或距离）。

　　本词条内容贡献者为:

　　李嘉骞 - 博士 - 同济大学