互反

　　互反律可能是指：二次互反律或三次互反律。在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程之整数解的存在性的定律；三次互反律是关于模代数中两个对应的三次方程的可解性之间的关系的结论和定理。

　　二次互反律

　　在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程 之整数解的存在性的定律。二次互反律揭示了方程 可解和 可解的简单关系。运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判别问题，并最后归结为较少的几个情况，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。然而，二次互反律只能提供二次剩余的存在性，对于二次同余方程的具体求解并没有实际帮助。

　　二次互反律常用勒让德符号表述：对于两个奇素数p和q，

　　 其中 是勒让德符号。但是对于更一般的雅可比符号和希尔伯特符号也有对应的二次互反律。

　　欧拉和勒让德都曾经提出过二次互反律的猜想。但第一个严格的证明是由高斯在1796年作出的，随后他又发现了另外七个不同的证明。在《算数研究》一书和相关论文中，高斯将其称为“基石”：此基石应当被视为此类型的定理中最为典雅的其中之一。私下里高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律。

　　高斯之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。至今，二次互反律已有超过200个不同的的证明。二次互反律可以推广到更高次的情况，如三次互反律等等。1

　　三次互反律

　　在数学中，三次互反律是关于模代数中两个对应的三次方程的可解性之间的关系的结论和定理。

　　如果是中范数为P的一个素数。与互素。定义三次剩余符号为一个三次单位根，并满足

　　再定义“原初”素数是模3同余于-1的素数。由于每个素数在乘以中的一个单位元后都会成为“原初”素数，因此关于“原初”素数的定律仍具有普遍性。这时，三次互反律说明，对两个不同的“原初”素数和，有

　　此外有辅助定理：如果 那么：

　　参见

　　同余

　　同余方程

　　二次剩余

　　高斯引理

　　二次互反律的证明

　　阿廷互反律

　　本词条内容贡献者为:

　　王海侠 - 副教授 - 南京理工大学